一、单选题 1．
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.
详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：本题选择B选项.
.
点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．下列选项中,与向量
垂直的单位向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可. 详解：逐一考查所给的选项：
，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，
且
本题选择D选项.
，选项D正确；
点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部
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地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）
①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；
②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；
③西部地区学生小刘被选中的概率为；
④中部地区学生小张被选中的概率为
A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】B
【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：
①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、
中部地区学生32人、
西部地区学生20人，题中的说法正确；
②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；
③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；
④中部地区学生小张被选中的概率为综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B选项.
，题中的说法错误；
点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（ ）
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A. 81 B. 83 C. 无中位数 D. 84.5 【答案】D
【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可. 详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：
，
则这些数据的中位数是本题选择D选项.
.
点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据． 5．一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 乙和丁 【答案】B
【解析】分析：由题意逐一考查事件之间的关系即可. 详解：由题意逐一考查所给的两个事件之间的关系： A.甲和乙既不互斥也不对立； B.甲和丙互斥而不对立； C.乙和丙互斥且对立； D.乙和丁既不互斥也不对立； 本题选择B选项.
点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
6．已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（ ）
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A. 3.4 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.15 【答案】C
【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果. 详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：
，解得：
本题选择C选项.
.
点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．若锐角满足，则（ ）
A. B. C. D. 3 【答案】A
【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由同角三角函数基本关系可知：结合题意可得：
.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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8．已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是（ ）
A. 正三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C
【解析】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可. 详解：如图所示，在边点，使得
，
(或取延长线)上取点，使得
，在边
(或取延长线)上取
由题意结合平面向量的运算法则可知：而
，据此可得：
，从而：
，
，
，
结合平面几何知识可知：即△ABC为等腰三角形. 本题选择C选项.
，而，故.
点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题． 9．如图所示的程序框图，若输入的的值为
，则输出
（ ）
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A. B. 【答案】D
【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可. 详解：结合流程图分类讨论： 若若
，则，则
，输出值，输出值
.
， ，
C.
D.
即输出值为：本题选择D选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．
10．函数在区间上的所有零点之和等于（ ）
A. -2 B. 0 C. 3 D. 2 【答案】C
【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.
详解：函数解得：取
，
可得函数在区间
的零点满足：，
上的零点为：.
，
则所有零点之和为本题选择C选项.
点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生
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的转化能力和计算求解能力. 11．设非零向量
夹角为，若
，且不等式
对任意恒成立，则实
数的取值范围为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法则进行化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：不等式即其中
，
等价于：
，①
，
， 恒成立，
，故：
，
将其代入①式整理可得：由于是非零向量，故：将其看作关于
的一次不等式恒成立的问题，由于
，解得：
；
；
且：，解得：
.
综上可得，实数的取值范围为本题选择A选项.
点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．
A. B. 【答案】A
C. D. 1
【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：
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.
点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题 13．从
这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．
【答案】0.4
【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果. 详解：由质数的定义可知：
这十个自然数中的质数有：
等4个数，
结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 14．数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据和方差之和是__________． 【答案】3
【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合平均数和方差的性质可知： 数据
，
，…，
的平均数为：.
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，，…，的平均数
，方差为：，
则平均数和方差之和是
点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：
)，表示应支付
①在里程不超过②若乘车③乘车④乘车
的情况下，出租车费为8元；
，需支付出租车费20元； 的出租车费为
与出租车费的关系如图所示：
则正确表述的序号是__________． 【答案】①②
【解析】分析：结合流程图逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法： ①在里程不超过
的情况下，
，则
，即出租车费为8元，该说法正确；
②由流程图可知，超出
，当乘车里程为
和
的部分的计费方式为向上取整后每公里元，若乘车
元，该说法正确.
元，据此可知说法③④错误.
，需支付出租车费为：时，出租车车费均为
综上可得，正确表述的序号是①②.
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点睛：本题主要考查流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．如图为函数若
，都有
的部分图象，对于任意的，
，则等于__________．
，
【答案】
【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.
详解：由三角函数的最大值可知
，
不妨设，则，
由三角函数的性质可知：则：
，
，
则，结合，故.
点睛：本题主要考查三角函数图象的对称性，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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三、解答题 17．已知向量(1)若实数(2)若
满足
，
. ，求
，求实数的值.
，据此求解关于m,n的方程
的值；
【答案】（1）2；（2）
【解析】分析：(1)由题意得
组有所以.
，
.
，结合向量平行的充分必要条
(2)由题意可得
件得到关于的方程，解方程可知详解：(1)由题意得
所以 (2)因为解得
.
解得
，，所以
所以. ，·
点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间
内，则为一等品；若长度在
或
内，则为二等品；否则为不合
格产品.现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示.
(1)试估计该样本的平均数；
(2)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润.
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【答案】（1）100.68；（2）68万元
【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.
(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.据此可估计该企业生产这批零件所获得的利润为
万元.
详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02. 平
均
数
估
计
值
.
(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14. 用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件. 故该企业生产这批零件预计可获利润点睛：频率分布直方图问题需要注意： 在频率分布直方图中，小矩形的高表示
，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、
万元.
是
中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 19．某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表： 周序号 1 2 3 4 5 参加人数
12 17 15 21 25 (1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程； （2）根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.
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附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.
其中【答案】（1）
，；（2）33
.
【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得
.
，，则线性回归方程为
(2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.
详解：(1)
，
所以关于的回归直线方程是(2)当
时，由回归方程可得
.
，
，
即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
20．函数最高点. （1）求
的解析式；
的最小正周期为，点为其图象上一个
（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间
上的值域
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【答案】（1）；（2）
.由最大值可知
，结合三角函数的性
【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得
质可得，则.
(2)由题意得为
.
，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域
详解：(1)因为最小正周期为，得，.
点为其图象上一个最高点，得，，
又因为，所以.
所以.
(2)由题意得，
当时，.
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
所以在区间上的值域为.
点睛：本题主要考查三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.
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(1)求甲获胜的概率.
(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么 ？
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概
率为.
(2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为公平.
，则乙获胜的概率为，则这个规则不
详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：
，
，
，共36种，
其中事件“甲获胜”包含的结果为：
，
有15种.
所以甲获胜的概率为.
(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：
，共25种.
其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：
，共13种.
根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.
点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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22．如图所示，扇形中点，设
中，，
的面积为.
，矩形内接于扇形.点为的
，矩形
（1）若，求；
（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2） 与
，
分别交于
，
两点，由几何关系可得
【解析】分析：(1)设
，.由矩形面积公式可得，结合三角函数
的性质可知时，.
(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当详解：(1)如图所示，设
与，
时，取得最大值.
分别交于，两点，
由已知得
，
.
，，
所以.
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故 ，
所以，
当时，.
(2)因为，所以，
当且仅当，即时，取得最大值.
点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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